Magneettivuon tiheyden laskeminen (kaava)

Magnetinen vuontiheys tunnetaan myös nimillä "B-kenttä" tai "magneettinen induktio". Supermagneettiemme B-kenttä voidaan laskea pohjois-etelänavan akselilla alla olevien kaavojen avulla. Lisäksi tarjoamme taulukoita (Excel / OpenOffice), joiden avulla magneettinen vuontiheys voidaan laskea automaattisesti. B-kenttien laskeminen koko avaruudessa on kuitenkin huomattavasti monimutkaisempaa ja vaatii tietokoneohjelmia.

Sisällysluettelo

Magneetin magneettista vuontiheyttä kutsutaan myös nimillä "B-kenttä" tai "magneettinen induktio". Sen yksikköinä käytetään teslaa (SI-yksikkö) tai gaussia (10 000 gaussia = 1 tesla).

Kestomagneetti tuottaa B-kentän sekä sisälleen että ulkoiseen ympäristöönsä. Jokaiselle pisteelle magneetin sisällä ja ulkopuolella voidaan määrittää B-kentän voimakkuus ja suunta. Kun pieni kompassineula asetetaan magneetin B-kenttään, se asettuu kentän suuntaisesti. Suuntaava voima on verrannollinen B-kentän voimakkuuteen.

Ei ole olemassa yksinkertaisia kaavoja, joilla voitaisiin laskea magneettinen vuontiheys minkä tahansa muotoisille magneeteille. Tätä varten on kehitetty tietokoneohjelmia (ks. alla). Vähemmän monimutkaisille symmetrisille geometrioille on kuitenkin olemassa yksinkertaisia kaavoja, joilla B-kenttä voidaan laskea symmetria-akselilla pohjois-etelä-suuntaan. Nämä kaavat magneettisen vuontiheyden laskemiseen esittelemme teille alla.

Kaavamagneettivuon tiheydelle suorakaidemagneetille

Kaava B-kentälle aksiaalisesti magnetoidun suorakaidemagneetin tai kuutiomagneetin symmetria-akselilla:

\(\begin{aligned}B &= \frac{B_r}{\pi}\left[arctan\bigg(\frac{LW}{2z\sqrt{4z^2+L^2+W^2}}\bigg)- arctan\bigg(\frac{LW}{2(D+z)\sqrt{4(D+z)^2+L^2+W^2}}\bigg)\right]\end{aligned}\)

B_r: Jäännöskenttä, riippumaton magneetin geometriasta (katso Fysikaaliset magneettitiedot)

z: Etäisyys symmetria-akselilla navan pinnasta

L: Suorakaiteen pituus

W: Suorakaiteen leveys

D: Suorakaiteen paksuus (tai korkeus)

Pituusyksikkö voidaan valita vapaasti, kunhan se on sama kaikille pituuksille.

Kaava sylinterimagneetin magneettivuon tiheydelle

Kaava aksiaalisesti magnetoidun sylinterimagneetin (kiekko- tai sauvamagneetti) B-kentälle symmetria-akselilla:

\(\begin{aligned}B &= \frac{B_r}{2}\left(\frac{D+z}{\sqrt{R^2+(D+z)^2}}-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right)\end{aligned}\)

B_r: Jäännöskenttä, riippumaton magneetin geometriasta (katso Magneettien fysikaaliset tiedot)

z: Etäisyys symmetria-akselilla napapinnasta

D: Sylinterin paksuus (tai korkeus)

R: Sylinterin puolihalkaisija (säde)

Pituusyksikkö voidaan valita vapaasti, kunhan se on sama kaikille pituuksille.

Kaavan rengasmagneetin magneettivuon tiheydelle

Kaava aksiaalisesti magnetoidun rengasmagneetin B-kentälle symmetria-akselilla:

\(\begin{aligned}B &= \frac{B_r}{2}\left[\frac{D+z}{\sqrt{R_a^2+(D+z)^2}}-\frac{z}{\sqrt{R_a^2+z^2}}-\left(\frac{D+z}{\sqrt{R_i^2+(D+z)^2}}-\frac{z}{\sqrt{R_i^2+z^2}}\right)\right]\end{aligned}\)

B_r: Jäännöskenttä, riippumaton magneetin geometriasta (katso Magneettien fysikaaliset tiedot)

z: Etäisyys symmetria-akselilla navan pinnasta

D: Renkaan paksuus (tai korkeus)

R_a: Renkaan ulkosäde

R_i: Renkaan sisäsäde

Pituusyksikkö voidaan valita vapaasti, kunhan sama yksikkö on käytössä kaikissa mitoissa.

Rengasmagneettien kaava osoittaa, että rengasmagneetin B-kenttä muodostuu suuremman sylinterimagneetin, jonka säde on R_a, kentästä vähennettynä pienemmän sylinterimagneetin, jonka säde on R_i, kentällä.

Kaavamagneetin magneettivuon tiheyden kaava

Kaava aksiaalisesti magnetoidun kuulamagneetin B-kentälle symmetria-akselilla:

\(\begin{aligned}B &= B_r\frac{2}{3}\frac{R^3}{(R+z)^3}\end{aligned}\)

B_r: Jäännöskenttä, riippumaton magneetin geometriasta (katso Magneettien fysikaaliset tiedot)

z: Etäisyys symmetria-akselilla pallon reunasta

R: Pallon säde (puolet halkaisijasta)

Pituusyksikkö voidaan valita vapaasti, kunhan sama yksikkö on käytössä kaikissa pituuksissa.

Taulukko kaavoista magneettivuon tiheyden laskemiseen

Yllä olevat magneettivuon tiheyden kaavat voi laskea kätevästi myös taulukossa. Syötä magneettia koskevat tiedot keltaisiin kenttiin, jolloin vuon tiheys lasketaan automaattisesti. Seuraavat versiot ovat saatavilla:

Lähde yllä oleville kaavoille: Artikkeli researchgate.net-sivustolla

B-kenttien laskeminen koko tilassa

B-kenttien laskemiseen symmetria-akselien ulkopuolella tai minkä tahansa muotoisten magneettien kenttien laskentaan on olemassa kehittyneitä, mutta usein myös hyvin kalliita tietokoneohjelmia, jotka pystyvät laskemaan B-kenttiä ja paljon muutakin.

Rotaatiosymmetrisille magneeteille rajoittuva, mutta ilmainen ohjelmisto on FEMM ("Finite Element Method Magnetics").

Kuten muutkin työkalut, FEMM laskee aina vain magneetin toisen puoliskon ja esittää myös graafisesti vain puolet, koska B-kentät ovat symmetrisiä. Toinen puolisko täytyy kuvitella vasemmalle puolelle peilikuvana.